Streudiagramm-Generator – Trendlinie, Steigung und R²
Streudiagramm-Generator
| Geplottete Punkte | 8 |
| Steigung | 1.986 |
| Achsenabschnitt | 0.064 |
| R² (Bestimmtheitsmaß) | 0.9988 |
Die Trendlinie ist eine Ausgleichsgerade nach der Methode der kleinsten Quadrate, und R² ist der Anteil der Varianz von y, den die Gerade erklärt. Ein R² nahe 1 bedeutet, dass die Punkte fast auf der Geraden liegen; ein R² nahe 0 bedeutet, dass die Gerade wenig erklärt und wahrscheinlich ein anderer Zusammenhang wirkt. Ein hohes R² belegt dennoch keine Kausalität.
Was ist
Ein Streudiagramm setzt für jede Beobachtung genau einen Punkt an die Koordinate aus zwei gemessenen Größen. Auf der waagerechten Achse liegt üblicherweise die unabhängige oder erklärende Variable, also diejenige, die Sie kontrollieren oder von der Sie annehmen, dass sie den Zusammenhang bestimmt; auf der senkrechten Achse liegt die abhängige Variable, also die Zielgröße, die Sie erklären wollen. Diese Konvention ist nicht beliebig, denn die Zuordnung entscheidet über die Bedeutung des Bildes: Ein dichter aufsteigender Punktbestand, gegen Dosis gegen Wirkung aufgetragen, zeigt, dass mit mehr Dosis mehr Wirkung einhergeht, dieselben Daten umgekehrt gelesen würden nur, dass die Wirkung bei kleinerer Dosis zunimmt. Form lesen heißt Zusammenhang lesen. Eine steil ansteigende Wolke ist eine starke positive Assoziation, eine fallende eine starke negative, eine formlose Wolke wenig oder keine lineare Assoziation, und erkennbare Kurven oder Trichter bedeuten, dass eine Gerade das falsche Modell ist. Kein Streudiagramm beweist für sich genommen eine Ursächlichkeit, und das ist die am häufigsten missverstandene Aussage der Gattung. Zwei Größen können einen Trend teilen, weil die eine die andere verursacht, weil beide von einer dritten gemeinsam verursacht werden, weil der Zusammenhang nur unter bestimmten Bedingungen gilt oder weil er in einer zufällig gezogenen Stichprobe rein zufällig auftritt.
Das klassische Beispiel dafür ist der sommerliche Anstieg der Eiskaugläufe und der Ertrinkungstote in derselben Woche: Beide Kurven steigen mit der Temperatur stark an, und als naives Streudiagramm ergibt das eine sehr enge positive Korrelation mit hoher Signifikanz. Verursacht das Eis die Ertrinkungen natürlich nicht; beide hängen an der dritten Größe Temperatur, die in einem heißen Juli beide Vorgänge gleichzeitig antreibt. Noch tückischer wird es durch Simpsons Paradox, situationsbedingt keiner inneren Gruppe gefällt das Muster, in der zusammengefassten Gruppe dreht es sich jedoch um. Wenn etwa eine neue Behandlung in beiden Risikogruppen getrennt betrachtet bessere Werte liefert, in der Gesamtpopulation aber schlechtere, liegt es an unterschiedlichen Gruppengrößen und nicht an der Behandlung. Deshalb ist eine Ursachenaussage nur mit einem Versuchsdesign zu begründen, etwa mit zufälliger Zuweisung oder einem belastbaren natürlichen Experiment, nicht mit einer gelegten Geraden durch eine Punktwolke. Die hier gezeichnete Trendlinie ist eine Ausgleichsgerade nach der Methode der kleinsten Quadrate. Sie sucht die einzige Gerade der Form y gleich Steigung mal x plus Achsenabschnitt, welche die Summe der quadrierten senkrechten Abstände zwischen Gerade und Punkten minimiert.
Die Steigung beschreibt die durchschnittliche Änderung von y je Einheit von x. Der Achsenabschnitt ist der vorhergesagte Wert von y bei x gleich null, und der ist nur dann sinnvoll interpretierbar, wenn null tatsächlich innerhalb Ihres x-Bereichs liegt; außerhalb davon ist er eine Extrapolation und damit ein Artefakt des Modells. R², der Determinationskoeffizient, ist der Anteil der Gesamtstreuung von y, den die Gerade erklärt, also eins minus der Residuenquadratsumme geteilt durch die Quadratsumme der Abstände vom Mittelwert. Ein R² von 0,99 bedeutet, dass die Gerade 99 Prozent der beobachteten Streuung von y erklärt und ein Prozent offen bleibt. Was R² nicht bedeutet, ist wichtiger als das, was es bedeutet: Es sagt nichts über Kausalität, nichts über die Richtung eines Einflusses, nichts über die Verallgemeinerbarkeit auf andere Grundgesamtheiten und nichts über die Verteilung der Messfehler. Ein hohes R² kann aus winzigen absoluten Abweichungen entstehen, wenn y nur wenig streut, und es kann auch aus einem Datensatz mit Ausreißern resultieren, bei denen die Gerade den Bereich der meisten Punkte überhaupt nicht beschreibt. Und wenn alle x-Werte identisch sind, lässt sich keine Gerade berechnen, weil der Nenner der Ausgleichsformel null wird.
Wie zu verwenden
- Kopieren Sie Ihre Messwerte in das große Datenfeld, ein x,y-Paar pro Zeile; Paare dürfen auch durch Leerzeichen oder Semikolons getrennt sein, x und y innerhalb eines Paares durch Komma, Doppelpunkt oder Tabulator.
- Beachten Sie den roten Hinweis „Skipped as unreadable:“ unter dem Feld: Alles, was nicht als zwei endliche Zahlen lesbar war, wird dort namentlich aufgeführt und nie stillschweigend verworfen.
- Tragen Sie Ihre Variablennamen in die Felder X axis label und Y axis label ein, damit die Grafik die erklärende und die abhängige Variable benennt statt eines nackten x und y zu zeigen.
- Lassen Sie das Kästchen Trend line angehakt, um eine Ausgleichsgerade nach kleinsten Quadraten zu zeichnen, oder entfernen Sie den Haken, um die reine Verteilung ohne aufgelegtes Modell zu sehen.
- Verschieben Sie den Regler Point size zwischen 2 und 14: Kleine Marker eignen sich für dichte Datensätze, in denen die Überlagerung die Information trägt, große Marker für wenige Punkte.
- Lesen Sie die Tabelle unter der Grafik mit Points plotted, Slope, Intercept und R²; über einen Marker fahren zeigt zusätzlich seine exakte Koordinate, was bei dicht beieinander liegenden Punkten hilft.
- Falls Slope, Intercept und R² fehlen, haben alle Punkte denselben x-Wert, denn bei n mal Summe x² minus Summe x im Quadrat gleich null kann keine Gerade berechnet werden.
- Klicken Sie auf Download SVG, um eine eigenständige Vektorkopie mit eingebackenen Achsenbeschriftungen zu speichern, die sich ohne Qualitätsverlust in ein Dokument einbetten lässt.
Beispiele
Eingabe: Die 8 Punkt umfassenden Beispieldaten des Werkzeugs: 1, 2.1 bis 8, 15.8
Prozess:
Kleinste Quadrate: Steigung = (n mal Summe xy minus Summe x mal Summe y) / (n mal Summe x² minus Summe x im Quadrat) = (8 mal 407,4 minus 36 mal 72) / (8 mal 204 minus 36²); R² = 1 minus SSres / SStotErgebnis: 8 Punkte geplottet, Steigung 1,986, Achsenabschnitt 0,064, R² 0,9988 – die Punkte liegen fast exakt auf der Geraden
Eingabe: Eine verrauschtere Reihe mit 6 Punkten: 1,4 2,7 3,5 4,9 5,6 6,11
Prozess:
Steigung = (6 mal 165 minus 21 mal 42) / (6 mal 91 minus 21²) = 1,029; SStot = 34, SSres = 15,486, also R² = 1 minus 15,486 / 34Ergebnis: 6 Punkte geplottet, Steigung 1,029, Achsenabschnitt 3,4, R² 0,5445 – ein realer Trend, aber der größte Teil der Streuung bleibt unerklärt
Eingabe: Vier Punkte, deren x sich nie ändert: 5,10 5,12 5,11 5,9
Prozess:
n mal Summe x² minus Summe x im Quadrat = 4 mal 100 minus 20² = 0, also ist der Nenner null und es lässt sich keine Gerade berechnenErgebnis: 4 Punkte geplottet, keine Trendlinie, Zeilen für Steigung, Achsenabschnitt und R² entfallen – die erklärende Variable hat nie variiert
Eingabe: Gemischte Eingabe mit einem Tippfehler: 1,2 oops 3,5.5 4,4 5,9
Prozess:
Das Token oops enthält keine zweite Zahl, wird als unlesbar gemeldet und die übrigen vier Paare werden normal ausgewertetErgebnis: 4 Punkte geplottet, unlesbar: oops, Steigung 1,471, Achsenabschnitt 0,343, R² 0,7234
Eingabe: Negative Assozitation: 1,9.1 2,8.4 3,7.6 4,6.2 5,5.4 6,4.1
Prozess:
Steigung = (6 mal 125,1 minus 21 mal 40,8) / (6 mal 91 minus 21²) = minus 1,011; SStot = 18,1, SSres = 0,198Ergebnis: 6 Punkte geplottet, Steigung minus 1,011, Achsenabschnitt 10,34, R² 0,9891 – fallender Trend mit sehr dichter Punktwolke
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Häufig gestellte Fragen
Was bedeutet R² genau, und welcher Wert ist gut?
R² ist der Anteil der Gesamtstreuung von y, den die Ausgleichsgerade erklärt, berechnet als eins minus Residuenquadratsumme geteilt durch die Quadratsumme der Abstände vom Mittelwert. Ein R² von 0,95 bedeutet, dass die Gerade 95 Prozent der beobachteten Streuung von y erklärt und 5 Prozent offen lässt. Eine universelle Schwelle gibt es nicht: Eine physikalische Simulation darf legitim bei 0,999 liegen, während verrauschte soziale Daten bei 0,3 immer noch ein relevanter Befund sind. Maßstab ist die Streuung, die Ihr Sachgebiet unvermeidlich erzeugt.
Beweist ein hohes R², dass eine Variable die andere verursacht?
Nein, und das ist die häufigste Fehldeutung von Streudiagrammen. Eine enge Gerade mit R² von 0,99 ist mit einer gemeinsamen dritten Größe ebenso vereinbar wie mit einer umgekehrten Kausalrichtung oder mit einem Zusammenhang, der nur unter nie getesteten Bedingungen gilt. Korrelation ist eine notwendige, aber keineswegs hinreichende Bedingung für Kausalität. Einen Ursachenzusammenhang belegt erst ein Designargument, etwa eine randomisierte Zuweisung oder ein glaubwürdiges natürliches Experiment, nicht eine gelegte Gerade durch eine Punktwolke.
Was bedeuten Steigung und Achsenabschnitt in einfachen Worten?
Die Steigung ist die durchschnittliche Änderung von y, die mit einer Einheit mehr x einhergeht. Ein Wert von 1,986 bedeutet also, dass zu jedem zusätzlichen x-Wert im Mittel rund zwei zusätzliche y-Einheiten gehören. Der Achsenabschnitt ist die y-Stelle, an der die Gerade die Achse schneidet; 0,064 bedeutet, dass das Modell bei x gleich null ein y nahe null vorhersagt. Vertrauen Sie dem Achsenabschnitt nur, wenn x gleich null wirklich innerhalb Ihrer beobachteten x-Werte liegt. Außerhalb dieses Bereichs ist die Gerade eine Extrapolation, und der Achsenabschnitt beschreibt dann eine Modellannahme und keine Messung.
Warum verschwinden Steigung, Achsenabschnitt und R² manchmal aus der Tabelle?
Es gibt zwei Fälle. Erstens brauchen Sie mindestens zwei verschiedene Punkte, denn ein einzelner Punkt kann keine Gerade definieren. Zweitens müssen sich die x-Werte unterscheiden: Sind alle x gleich, wird der Nenner der Kleinste-Quadrate-Formel zu null, und mathematisch lässt sich keine Steigung wählen, die durch Punkte ohne horizontale Ausdehnung sinnvoll verläuft. Die Grafik zeichnet dann trotzdem und nennt weiterhin die Zahl der geplotteten Punkte, was genau die nützliche Diagnose ist, denn es zeigt, dass die erklärende Variable nie variiert hat.
Welche Eingabeformate akzeptiert das Datenfeld?
Mehrere. Innerhalb eines Paares dürfen x und y durch Komma, Doppelpunkt oder Tabulator getrennt sein, zwischen den Paaren durch Zeilenumbrüche, Leerzeichen oder Semikolons, denn jede Folge aus Leerzeichen und Semikolons gilt als Paargrenze. Eine Zeile wie 1 2, 3 4; 5 6 fügt sich daher korrekt ein. Negative Zahlen, Dezimalwerte und wissenschaftliche Notation funktionieren ebenfalls, ein Paar mit nur einer Zahl oder ein Token mit Buchstaben wird jedoch abgelehnt und unter dem Hinweis für unlesbare Werte zurückgemeldet, statt zu einer irreführenden Null umgeformt zu werden.
Wie kann ich denn eine Ursache ausschließen, wenn R² so hoch ist?
Gar nicht allein mit dem Diagramm. Prüfen Sie zuerst, welche Dritte Größen mit beiden Achsenvariablen steigen: Der sommerliche Anstieg von Eiskaugläufen und Ertrinkungstoten bei gleichzeitig steigender Temperatur ist das bekannteste Beispiel, in dem beide Kurven dicht zusammengehen, ohne dass die eine die andere verursacht. Als Nächstes prüfen Sie Simpson's Paradox, also ob sich der Trend innerhalb einzelner Gruppen umkehrt, sobald Sie alle Gruppen zusammenfassen. Und schließlich brauchen Sie Daten, die über mehrere Wertebereiche gestreut sind: Ein hohes R² aus einem engen Ausschnitt einer stark gekrümmten Funktion beweist nahezu nichts.
Werden meine Daten irgendwohin hochgeladen?
Nein. Auswertung, Zeichnen und die Ausgleichsrechnung finden vollständig client-side in Ihrem Browser statt, es wird nichts an einen Server gesendet und nach dem Schließen des Tabs nichts gespeichert. Das macht das Werkzeug auch für unvollständige, vertrauliche oder unveröffentlichte Messreihen geeignet und sorgt dafür, dass die Seite nach dem Laden auch offline weiter funktioniert.
Warum sieht der exportierte Chart anders aus als die Vorschau?
Die Schaltfläche Download SVG schreibt eine eigenständige Vektordatei mit den Punktkreisen, der Trendlinie, sofern aktiviert, und Ihren Achsenbeschriftungen. Sie übernimmt bewusst keine Hilfslinien, Tickzahlen, Farben oder Schriften anderer Werkzeuge, weil die exportierte Datei minimalistisch und portabel sein soll. Sie ist dafür gedacht, in einen Bericht, eine Folie oder eine Publikationsgrafik eingebettet zu werden und dabei ohne Unschärfe zu skalieren, weshalb die Achsentexte als echter Text in der Datei stehen und nicht nur auf dem Bildschirm existieren.