मानक विचलन कैलकुलेटर - प्रसरण, चतुर्थक और अधिक
मानक विचलन कैलकुलेटर
| संख्या (n) | 10 |
| योग | 291 |
| माध्य (समांतर) | 29.1 |
| माध्यिका | 30 |
| बहुलक (सर्वाधिक बार आने वाला मान) | कोई बहुलक नहीं |
| न्यूनतम | 12 |
| अधिकतम मान | 45 |
| परिसर | 33 |
| प्रथम चतुर्थक (Q1) | 22.5 |
| तृतीय चतुर्थक (Q3) | 37 |
| चतुर्थक परिसर (IQR) | 14.5 |
| Sample variance (n−1) | 118.7667 |
| Sample standard deviation (n−1) | 10.898 |
| विभिन्नता गुणांक | 35.53% |
| माध्य की मानक त्रुटि | 3.4463 |
ये आँकड़े कैसे निकाले जाते हैं
- माध्य, मानों के योग को संख्या से भाग देने पर प्राप्त होता है।
- प्रत्येक मान का माध्य से विचलन वर्ग होता है, इसलिए माध्य से ऊपर और नीचे के दोनों मान सकारात्मक रूप से योगदान देते हैं।
- वर्गित विचलनों का योग लेकर समष्टि प्रसरण के लिए n से और नमूना प्रसरण के लिए n−1 से भाग दिया जाता है। n−1 से भाग देना उस नीची ओर के पक्षपात को सुधारता है जो इसलिए आता है क्योंकि माध्य भी उसी आँकड़े से निकाला गया है।
- मानक विचलन प्रसरण का वर्गमूल है, जिससे परिणाम मूल आँकड़े की इकाई में वापस आ जाता है।
क्या है
आँकड़ों के समूह में केंद्र के दो प्रकार होते हैं, और वे अलग-अलग सवालों के उत्तर हैं। माध्य समान्तिमित माध्य है, यानी योग भाजित संख्या, और यह प्रत्येक मान को उसके आकार के अनुसार पूरा भार देता है, जिससे वह चरम मानों के प्रति संवेदनशील रहता है: एक बहुत बड़ा माप इसे स्पष्ट रूप से खिसका देता है। माध्यिका क्रम में लगाने के बाद का बीच का मान है, और संख्या सम होने पर बीच के दो मानों का औसत, और यह लगभग इतना नहीं घटता-बढ़ता जब चरम मान आ जाए, क्योंकि यह आँकड़ों के क्रम पर निर्भर करती है, न कि यह कि वे एक-दूसरे से कितने दूर हैं। वितरण लगभग सममित होने पर दोनों मिलते हैं, जैसे प्रश्न-पत्रों के अंकों में। जब वितरण टेढ़ा हो, चाहे कुछ बहुत बड़े मान हों या नीचे की लंबी पूँछ हो, तो माध्यिका एक सामान्य स्थिति का अधिक ईमानदार वर्णन है और माध्य आगे की गणना के लिए प्रायः अधिक उपयोगी। परन्तु दोनों में से कोई भी यह नहीं बताता कि फैलाव कितना है। दो कारखाने दोनों औसतन प्रति घंटा 100 इकाई बना सकते हैं जबकि एक ताल-बद्ध चले और दूसरा 40 से 160 तक डोले, और माँग में बदलाव आते ही ये दोनों प्रक्रियाएँ पूरी तरह अलग तरह से व्यवहार करेंगी, इसलिए फैलाव मापना कोई बारीक सुधार नहीं बल्कि अलग सूचना है। मानक विचलन यही माप है, और इसे प्रसरण का वर्गमूल माना जाता है, जहाँ प्रसरण प्रत्येक मान और माध्य के बीच के अंतर के वर्गों का औसत है। वर्ग करना ही वह है जिससे यह गणना संभव बनाता है, क्योंकि उसके बिना माध्य से ऊपर और नीचे के मान एक-दूसरे को घटा देते हैं: माध्य से 5 ऊपर का मान −5 देता है और 5 नीचे का मान +5 देता है, और किसी भी समूह का योग शून्य हो जाएगा। वर्ग करने पर चिह्न समाप्त हो जाता है, हर अंतर सकारात्मक योगदान देता है, और कुल यह मापता है कि आँकड़े केंद्र से कितने दूर हैं। परन्तु वर्ग करने से इकाई बदल जाती है, और यही कारण है कि अंत में फिर वर्गमूल निकाला जाता है। सेकंड के वर्ग में व्यक्त प्रसरण कोई ऐसी मात्रा नहीं जिसके बारे में कोई सोच सके; 2.5 सेकंड का मानक विचलन सीधे 12 सेकंड के माध्य से तुलनीय है, किसी विशिष्टता में जोड़ा जा सकता है, या अगली गणना में भरा जा सकता है। निर्णायक दाँद यही है कि आप n से भाग दें या n−1 से। समष्टि प्रसरण n से भाग देता है और आपकी सूची को पूर्ण समष्टि मानता है, जो उपलब्ध आँकड़ों का सही वर्णन है: इन मानों का अपने माध्य से औसत वर्गित अंतर। प्रतिदर्श प्रसरण n−1 से भाग देता है और आपकी सूची को बड़ी समष्टि का एक अंश मानता है, जो उस समष्टि में कितनी विचलन होगी इसका सही अनुमान है। इस सुधार का कारण एक सूक्ष्म पक्षपात है: जिस माध्य से आप भाग दे रहे हैं वह भी उसी आँकड़े से निकाला गया है, इसलिए वह हर बिंदु से उस स्थिति में भी कहीं अधिक निकट है जहाँ वास्तविक समष्टि माध्य होता, जिससे हर वर्गित अंतर कुछ छोटा पड़ जाता है। n के बजाय n−1 से भाग देने से परिणाम n/(n−1) गुना बढ़ जाता है, जो ठीक उतना ही है जिससे वह नीचे की ओर का पक्षपात दूर हो जाए। n = 1000 पर यह अंतर नगण्य है और n = 20 पर लगभग 5 प्रतिशत, और यही कारण है कि n के साथ न दिए प्रकाशित मानक विचलन अधूरा है। जब आँकड़े टेढ़े हों या उनमें चरम मान हों, तो मानक विचलन उन्हीं से फूल जाता है और उसे समझना कठिन हो जाता है, इसलिए चतुर्थक भी साथ बताए जाने चाहिए। प्रथम चतुर्थक Q1 और तृतीय चतुर्थक Q3 आँकड़ों का मध्य आधा भाग घेरते हैं, और चतुर्थकवाचक परास Q3 − Q1 फैलाव मापता है जबकि नीचे और ऊपर के एक-चौथाई को पूरी तरह अनदेखा करता है, इसीलिए आय जैसी भारी पूँछ वाले आँकड़ों में यही पसंदीदा माप है। अलग-अलग मापों में परस्कर तुलना करने के लिए विभिन्नता गुणांक लें, जो मानक विचलन को माध्य के निरपेक्ष मान से भाग देकर प्रतिशत में व्यक्त करता है: 4 प्रतिशत का अर्थ है कि आँकड़े अपने ही औसत के लगभग 4 प्रतिशत तक फैले हैं। अकेला मानक विचलन 12 का कोई अर्थ नहीं, परन्तु 35 प्रतिशत का विभिन्नता गुणांक बताता है कि यह सूची अपने आकार की दृष्टि से बिखरी हुई है। अंत में माध्य का मानक त्रुटि, जिसकी गणना प्रतिदर्श मानक विचलन को n के वर्गमूल से भाग देकर होती है, थोड़ा भिन्न सवाल पाता है: यह बताता है कि माध्य का अनुमान कितनी सटीकता से लगाया गया, और आँकड़ा बढ़ने पर यह एक के वर्गमूल की दर से सिकुड़ता है, अर्थात चार गुना नमूना अनिश्चितता आधी कर देता है। मानक विचलन आपके आँकड़ों का वर्णन करता है; मानक त्रुटि आपके ज्ञान का। दोनों को अलग रखना ही अंतर है कि आप कोई प्रक्रिया माप रहे हैं या किसी माप पर अपने भरोसे की मात्रा माप रहे हैं।
कैसे उपयोग करें
- अपने ब्राउज़र में मानक विचलन कैलकुलेटर खोलें। सारे अंक स्थानीय रूप से बनते हैं, इसलिए आपके मान आपके उपकरण से बाहर नहीं जाते।
- टेक्स्ट क्षेत्र में अपने मान टाइप या चिपकाएँ, उन्हें स्पेस, अल्पविराम या अर्धविराम से अलग करें। एक उदाहरण पहले से भरा हुआ है ताकि आप कुछ लिखने से पहले ही परिणाम का आकार देख सकें।
- यदि क्षेत्र के नीचे लाल पंक्ति दिखे तो उसे ध्यान से देखें: वहाँ सूचीबद्ध हर चीज़ संख्या के रूप में नहीं पढ़ी गई, जो आमतौर पर इसका मतलब है कि कहीं इकाई, प्रतिशत चिह्न या दशमलव अल्पविराम घुस गया है।
- Treat the values as a sample of a larger population वाले चेकबॉक्स को चेक या अनचेक करें। चेक होने पर मुख्य प्रसरण और मानक विचलन n−1 से भागते हैं, अनचेक होने पर n से।
- पहले Count (n) पंक्ति पढ़कर पुष्टि करें कि आपने वही चिपकाया जो आप चाहते थे, फिर माध्य और माध्यिका की तुलना करें। दोनों में बड़ा अंतर बताता है कि आँकड़े टेढ़े हैं।
- टेढ़े या चरम मानों से भरे आँकड़ों के लिए चतुर्थक और चतुर्थकवाचक परास का उपयोग करें, क्योंकि वे मध्य आधे का वर्णन करते हैं और पूँछों को अनदेखा करते हैं।
- अलग-अलग मापों वाली दो सूचियों की तुलना के लिए विभिन्नता गुणांक लें, और यह जानने के लिए कि माध्य कितनी सटीकता से ज्ञात है, माध्य का मानक त्रुटि लें।
- यदि किसी रिपोर्ट या असाइनमेंट में किसी भी पंक्ति का सूत्र सिद्ध करना हो तो How these numbers are computed पैनल खोलें।
उदाहरण
इनपुट: 12, 15, 22, 24, 29, 31, 34, 38, 41, 45, प्रतिदर्श चेकबॉक्स चालू
प्रक्रिया:
माध्य 29,1, वर्गित अंतरों का योग 1068,9, n−1 = 9 से भागपरिणाम: प्रतिदर्श प्रसरण 118,7667 और प्रतिदर्श मानक विचलन 10,898; समष्टि रूप से 106,89 और 10,3388
इनपुट: 65, 70, 72, 75, 78, 80, 82, 85, 88, 95
प्रक्रिया:
सममित आँकड़े, माध्य और माध्यिका दोनों 79 परपरिणाम: प्रतिदर्श मानक विचलन 8,9815, IQR 11,5, विभिन्नता गुणांक 10,79 प्रतिशत
इनपुट: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9
प्रक्रिया:
माध्य 5 परंतु माध्यिका 4,5, क्योंकि दो सबसे बड़े मान औसत ऊपर खींच देते हैंपरिणाम: समष्टि मानक विचलन ठीक 2, IQR 1,5, और दो बराबर बहुलक: 4 और 5
इनपुट: 11,2, 11,5, 11,9, 12,1, 12,4, 13,8 सेकंड में
प्रक्रिया:
माध्य 12,15 सेकंड, प्रतिदर्श प्रसरण 0,835 को 6 से भागने पर त्रुटि 0,3731परिणाम: प्रतिदर्श मानक विचलन 0,9138 सेकंड, मानक त्रुटि 0,3731 सेकंड, विभिन्नता गुणांक 6,87 प्रतिशत
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अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
मुझे n से भाग देना चाहिए या n−1 से?
यदि आपकी सूची वही पूरी समष्टि है जिसमें आपकी रुचि है, जैसे दो घंटे की एक शिफ्ट में लिए गए हर पाठ्यांक, और आप जानना चाहते हैं कि उस शिफ्ट में कितनी विचलन थी, तो n से भाग दें। यदि आपकी सूची किसी बड़ी समष्टि से लिया गया प्रतिदर्श है, जैसे पचास ग्राहकों का सर्वेक्षण, और आप अपने पूरे ग्राहक-आधार की विचलन का अनुमान लगाना चाहते हैं, तो n−1 से भाग दें। यह सुधार इसलिए है क्योंकि आपका माध्य उन्हीं मानों से निकाला गया है जिन्हें आप अंतर माप रहे हैं, जिससे वह केंद्र की ओर थोड़ा खिसक जाता है और प्रत्येक वर्गित अंतर कुछ छोटा पड़ जाता है। n के बजाय n−1 से भाग देना प्रसरण को n/(n−1) गुना करके उसी पक्षपात को रद्द करता है। व्यावहारिक प्रभाव यह है कि n = 20 पर प्रतिदर्श मानक विचलनें समष्टि वालों से लगभग 5 प्रतिशत ऊपर होती हैं, n = 100 पर 1 प्रतिशत, और कुछ हज़ार से आगे यह बिल्कुल नगण्य हो जाता है। यह बताए बिना मानक विचलन प्रकाशित करना सांख्यिकी की सबसे आम छूट है।
माध्य और माध्यिका में क्या अंतर है, और मुझे कौन-सा लेना चाहिए?
माध्य योग भाजित संख्या है और यह हर मान को बराबर भार देता है, इसलिए एक चरम प्रेक्षण उसे काफ़ी हिला देता है। माध्यिका क्रम लगाने के बाद का बीच का मान है और चरम मान आने पर बहुत कम हिलती है, क्योंकि वह आँकड़ों के क्रम पर निर्भर है, न कि उनके आपसी अंतर पर। सममित आँकड़ों में दोनों मिलते हैं, टेढ़े आँकड़ों में अलग होते हैं। 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 की सूची में माध्य ठीक 5 है जबकि माध्यिका 4,5 है, क्योंकि दो सबसे बड़े मान औसत को ऊपर खींच देते हैं। जब आपको आगे की गणना के लिए केंद्र चाहिए, जैसे कुल का प्रतिशत या भारित संयोजन, तो माध्य लें; और जब आप ऐसे वितरण में एक सामान्य स्थिति बताना चाहते हैं जहाँ कुछ बड़े या छोटे मान प्रभुत्व रखते हैं, तो माध्यिका लें। यदि आप टेढ़े समूह पर केवल एक संख्या बताते हैं, तो पढ़ने वाले को गुमराह किया जा रहा है।
प्रसरण का वर्गमूल क्यों निकाला जाता है?
क्योंकि प्रसरण वर्गीकृत इकाई में मापा जाता है और कोई सेकंड के वर्ग में नहीं सोचता। वर्ग करना एक गणितीय आवश्यकता है, विकल्प नहीं: माध्य से अंतरों के चिह्न विपरीत होते हैं, और वर्ग किए बिना माध्य से 5 ऊपर का मान माध्य से 5 नीचे के मान को ठीक उसी तरह निरस्त कर देता, जिससे हर आँकड़े का प्रसरण शून्य आता। वर्ग करने से सभी योगदान सकारात्मक हो जाते हैं, और बनने वाला योग फैलाव के वर्ग के अनुसार बढ़ता है। n या n−1 से भाग देने पर समय के वर्गीकृत इकाई में प्रसरण मिलता है, जिसकी तुलना किसी अर्थपूर्ण चीज़ से नहीं की जा सकती। वर्गमूल मूल इकाई वापस ला देता है, इसलिए 0.83 सेकंड का मानक विचलन इसका अर्थ है कि आँकड़े वास्तव में माध्य से लगभग 0.83 सेकंड दूर हैं, एक ऐसा कथन जिसे विशिष्टता से जाँचा जा सकता है, सीमा में जोड़ा जा सकता है, या अगले सूत्र में डाला जा सकता है। इसीलिए लोग प्रसरण नहीं, मानक विचलन बताते हैं जब वे कहते हैं कि उनका डेटा कितना बिखरता है।
चतुर्थकवाचक परास का क्या उपयोग है, और यह मानक विचलन से कब बेहतर है?
चतुर्थकवाचक परास, यानी IQR, Q3 में से Q1 घटाकर मिलता है और यह आँकड़ों के मध्य आधे की चौड़ाई मापता है, जिसमें नीचे का एक-चौथाई और ऊपर का एक-चौथाई पूरी तरह छोड़ दिया जाता है। यही इसे स्थायी बनाता है। मानक विचलन हर मान को माध्य से उसकी दूरी के अनुसार भार देता है, इसलिए एक गलत दर्ज पाठ्यांक, या कोई ग्राहक जिसने आय वाले खाने में 90000 के बजाय 900000 लिख दिया, उसे ज़बरदस्त बढ़ा देती है; IQR पर इसका कोई असर नहीं। 11,2, 11,5, 11,9, 12,1, 12,4, 13,8 की सूची में मानक विचलन लगभग 0,91 सेकंड और IQR लगभग 0,73 है, यानी अंतर मामूली; सूची में अकेला 500 जैसा चरम मान डालते ही मानक विचलन 180 के पार पहुँच जाती है जबकि Q1 और Q3 हिलते नहीं। आय, घर की कीमतों और प्रतिक्रिया समय जैसे टेढ़े आँकड़ों में माध्यिका के साथ IQR बताना मानक सुरक्षा-तरीका है। आम नियम यह है कि Q1 या Q3 से 1,5 गुना IQR से आगे पड़ने वाले मानों को संदिग्ध मानकर देखना चाहिए।
विभिन्नता गुणांक मुझे वह क्या बताता है जो मानक विचलन नहीं बताता?
विभिन्नता गुणांक मानक विचलन को माध्य के निरपेक्ष मान से भाग देकर परिणाम को प्रतिशत में व्यक्त करता है, यानी निरपेक्ष फैलाव को सापेक्ष बना देता है। अकेला मानक विचलन 12 व्याख्या योग्य नहीं है: यह माध्य 12 होने पर बहुत बड़ा है और माध्य 5000 होने पर नगण्य। अनुपात के रूप में लिखने पर इकाई और पैमाना दोनों हट जाते हैं। कैलकुलेटर में डिफ़ॉल्ट सूची का विभिन्नता गुणांक लगभग 35,5 प्रतिशत है जबकि अंकों की एक कसी हुई सूची का लगभग 10,8 प्रतिशत, यानी एक नज़र में पता चलता है कि पहली सूची अपने आकार की तुलना में बिखरी है और दूसरी नहीं। यही कारण है कि यह अलग-अलग इकाइयों वाले आँकड़ों की तुलना के लिए उपयुक्त है, जैसे यूरो में दैनिक बिक्री का सापेक्ष उतार-चढ़ाव और डॉलर में बिक्री का सापेक्ष उतार-चढ़ाव, या बहुत भिन्न पैमानों वाली दो आबादियों के बीच। एक सावधानी: जब माध्य शून्य के पास हो तो यह माप बेमतलब हो जाता है, क्योंकि आप किसी बहुत छोटी संख्या से भाग कर रहे होते हैं।
माध्य का मानक त्रुटि क्या है, और यह मानक विचलन से कैसे भिन्न है?
माध्य का मानक त्रुटि, जिसे SEM लिखा जाता है, प्रतिदर्श मानक विचलन को n के वर्गमूल से भाग देकर मिलता है। यह मानक विचलन से अलग सवाल पाता है। मानक विचलन बताता है कि आपके व्यक्तिगत आँकड़े बिंदु माध्य से कितनी दूर हैं; मानक त्रुटि बताता है कि माध्य का आपका अनुमान कितनी सटीकता से ज्ञात है। चूँकि कई प्रेक्षणों का माध्य सत्य मान के इर्द-गिर्द स्थिर होता जाता है, उसकी अनिश्चितता आँकड़ा बढ़ने पर कम होती जाती है, ठीक एक के वर्गमूल की दर से, यानी मानक त्रुटि आधी करने के लिए चार गुना डेटा चाहिए और चौथाई करने के लिए सोलह गुना। दस मानों की डिफ़ॉल्ट सूची में, जहाँ प्रतिदर्श मानक विचलन 10,898 है, मानक त्रुटि लगभग 3,45 आती है, यानी 29,1 का माध्य लगभग तीन के आसपास की अनिश्चितता लिए हुए है। जब आप किसी लेख या रिपोर्ट में माध्य बताते हैं, तो उसके साथ मानक त्रुटि देना पाठक को बताता है कि उस पर कितना भरोसा करें। इसे आँकड़ों की सकल मानक विचलन से न समझें, जो आम तौर पर दोनों में से बड़ी होती है।
मेरा बहुलक क्यों बताता है कि कोई बहुलक नहीं है?
कैलकुलेटर तब तक बहुलक नहीं बताता जब तक कोई मान एक से अधिक बार न आए, क्योंकि जिस सूची में हर मान ठीक एक बार आता है उसमें वास्तव में कोई बहुलक नहीं होता। यह पाठ्यपुस्तक की कठोर परिभाषा है और कुछ सॉफ़्टवेयर के व्यवहार से अलग है, क्योंकि Excel कभी-कभी एक से अधिक परिणाम या सबसे छोटा मान अप्रत्याशित रूप से लौटा देता है। उपकरण बराबर-बराबर आए सभी बहुलक भी बताता है, बजाय इसके कि कोई एक चुन ले, इसलिए 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 की सूची में 4 और 5 दोनों लौटते हैं क्योंकि दोनों तीन बार आते हैं। दो शिखरों वाला वितरण अक्सर इनमें से किसी एक मान से अधिक जानकारी देता है: दो शिखर आमतौर पर इस बात का संकेत हैं कि आपके आँकड़ों में दो अलग-अलग आबादियाँ हैं, जैसे दो ग्राहक समूह या दो परिचालन स्थितियाँ, और उन्हें एक ही माध्य और एक ही मानक विचलन में समेटने से वह संरचना छिप जाती है। दो बहुलक दिखें तो आँकड़े बाँटकर आधे-आधे का अलग विश्लेषण करें।