Calculateur d'Écart-Type - Variance, Quartiles et plus

Divisez par n si votre liste est la population complète qui vous intéresse, par exemple toutes les mesures prises pendant un poste de deux heures et dont vous voulez connaître la variabilité. Divisez par n−1 si votre liste est un échantillon prélevé dans une population plus large, par exemple cinquante clients sondés alors que vous cherchez à estimer la dispersion de toute votre clientèle. La correction existe parce que votre moyenne a été calculée à partir des mêmes valeurs que vous utilisez pour mesurer les écarts : elle se rapproche donc un peu du centre et rend chaque écart au carré un peu trop petit. Diviser par n−1 au lieu de n multiplie la variance par n/(n−1) pour annuler ce biais. L'effet pratique est que les écarts-types d'échantillon dépassent d'environ 5 pour cent les écarts-types de population à n = 20, d'environ 1 pour cent à n = 100, et deviennent négligeables au-delà de quelques milliers de valeurs. Publier un écart-type sans préciser la forme utilisée est l'omission statistique la plus courante.

La moyenne est la somme divisée par l'effectif et elle donne le même poids à chaque valeur, si bien qu'une seule observation extrême la déplace nettement. La médiane est la valeur centrale après classement et bouge à peine quand une valeur extrême apparaît, car elle dépend de l'ordre des données et non de l'écart entre elles. Elles coïncident sur des données symétriques et se séparent sur des données asymétriques. Pour une liste comme 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 la moyenne vaut exactement 5 alors que la médiane vaut 4,5, parce que les deux plus grandes valeurs tirent la moyenne vers le haut. Utilisez la moyenne quand vous en avez besoin pour la suite des calculs, par exemple obtenir un pourcentage du total ou une combinaison pondérée, et la médiane quand vous voulez décrire un cas typique dans une distribution où quelques grandes ou petites valeurs dominent. Si vous ne rapportez qu'un seul nombre sur un jeu asymétrique, vous induisez votre lecteur en erreur.

Parce que la variance s'exprime en unités au carré et que personne ne raisonne en secondes au carré. L'élévation au carré est une nécessité mathématique et non un choix : les écarts par rapport à la moyenne sont de signes opposés et, sans élévation, une valeur 5 au-dessus annulerait exactement une valeur 5 en dessous, si bien que tout jeu de données donnerait une variance nulle. L'élévation au carré rend toutes les contributions positives, et la somme obtenue croît comme le carré de la dispersion. Diviser par n ou n−1 donne une variance en unités de temps au carré, qui n'est comparable à rien de signifiant. Extraire la racine restitue les unités d'origine, si bien qu'un écart-type de 0,83 seconde signifie que les données se trouvent réellement à environ 0,83 seconde de la moyenne, une affirmation vérifiable face à une spécification, additionnable à un seuil ou utilisable dans une formule ultérieure. C'est pourquoi l'on cite l'écart-type et non la variance quand on parle de la variation de ses données.

L'écart interquartile, ou IQR, vaut Q3 moins Q1 et mesure la largeur de la moitié centrale des données, en écartant entièrement le quart inférieur et le quart supérieur. C'est précisément ce qui le rend robuste. L'écart-type utilise toutes les valeurs pondérées par leur distance à la moyenne, si bien qu'une mesure corrompue, ou un client qui tape 900000 au lieu de 90000 dans son salaire, le gonfle démesurément. L'IQR n'en est pas affecté. Pour la liste 11,2, 11,5, 11,9, 12,1, 12,4, 13,8 l'écart-type est d'environ 0,91 seconde et l'IQR d'environ 0,73, un écart modéré ; ajoutez une seule valeur aberrante à 500 et l'écart-type dépasse 180 alors que Q1 et Q3 bougent à peine. Rapporter l'IQR avec la médiane est le duo défensif habituel sur des données asymétriques comme les revenus, les prix immobiliers et la latence. La règle empirique la plus répandue consiste à examiner comme soupçons les valeurs situées à plus de 1,5 fois l'IQR au-delà de Q1 ou de Q3.

Le coefficient de variation divise l'écart-type par la valeur absolue de la moyenne et exprime le résultat en pourcentage, transformant une dispersion absolue en dispersion relative. Un écart-type de 10 est ininterprétable seul : il est énorme si la moyenne vaut 12 et négligeable si elle vaut 5000. L'exprimer comme un rapport supprime les unités et l'échelle. Dans le calculateur, la liste par défaut affiche un coefficient de variation d'environ 35,5 pour cent, tandis qu'une série de notes plus serrée tourne autour de 10,8 pour cent, ce qui dit d'un coup d'œil que la première liste est dispersée par rapport à sa propre taille et que la seconde ne l'est pas. C'est ce qui en fait la bonne statistique pour comparer des jeux de données mesurés dans des unités différentes, par exemple comparer la variabilité relative de ventes quotidiennes en euros à celle de ventes en dollars, ou entre populations d'échelles très inégales. Une réserve : la mesure perd tout sens quand la moyenne approche zéro, car on divise alors par quelque chose de minuscule.

L'erreur type de la moyenne, notée SEM, est l'écart-type d'échantillon divisé par la racine carrée de n. Elle répond à une question différente de celle de l'écart-type lui-même. L'écart-type décrit à quelle distance de la moyenne se trouvent vos points individuels ; l'erreur type décrit avec quelle précision votre estimation de la moyenne est connue. Comme la moyenne de nombreuses observations se stabilise autour de la valeur vraie, son incertitude diminue quand on rassemble davantage de données, exactement au rythme d'un sur la racine de n : il faut donc quatre fois plus de données pour diviser l'erreur type par deux et seize fois plus pour la diviser par quatre. Pour la liste par défaut de dix valeurs, avec un écart-type d'échantillon de 10,898, l'erreur type vaut environ 3,45 : une moyenne de 29,1 porte donc une incertitude de l'ordre de plus ou moins trois. Quand vous rapportez une moyenne dans un article ou un rapport, donner l'erreur type en plus indique au lecteur à quel point s'y fier. Ne la confondez pas avec l'écart-type des données brutes, qui est généralement le plus grand des deux.

Le calculateur ne signale un mode que si au moins une valeur apparaît plus d'une fois, car une liste où chaque valeur n'apparaît qu'une seule fois n'a réellement pas de mode. C'est la définition stricte des manuels, et elle ne correspond pas toujours au comportement de certains logiciels : Excel peut renvoyer plusieurs résultats ou la valeur la plus basse de façon inattendue. L'outil signale d'ailleurs tous les modes ex æquo au lieu d'en choisir un : la liste 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 renvoie 4 et 5, puisque chacun apparaît trois fois. Une distribution bimodale est souvent plus instructive que l'une ou l'autre des valeurs : deux pics signifient généralement que vos données contiennent deux populations distinctes, par exemple deux groupes de clients ou deux régimes de fonctionnement, et les regrouper dans une seule moyenne et un seul écart-type masquera cette structure. Quand vous voyez deux modes, séparez les données et analysez les moitiés séparément.