Quadratische Gleichung lösen – Nullstellen von ax²+bx+c=0

Die Diskriminante D = b² − 4ac verrät Ihnen die Art der Nullstellen, bevor Sie sie berechnen, und deshalb sollte sie das Erste sein, was Sie bestimmen. Ist D größer als null, gibt es zwei verschiedene reale Nullstellen und die Parabelfunktion schneidet die horizontale Achse zweimal. Ist D gleich null, gibt es genau eine reale Nullstelle, die doppelt gilt, und die Parabelfunktion berührt die Achse in ihrem Wendepunkt, dem Scheitelpunkt. Ist D kleiner als null, gibt es überhaupt keine reale Nullstelle, weil die Parabelfunktion sich nach unten öffnet, und die beiden Lösungen bilden ein komplex konjugiertes Paar der Form a + bi und a − bi. Der Betrag von D misst außerdem, wie weit die Nullstellen auseinanderliegen: Je größer D ist, desto weiter stehen die beiden Nullstellen voneinander ab. Die Diskriminante vorab zu bestimmen ist meist schneller, als in die Formel einzusetzen und unterwegs an einer negativen Quadratwurzel zu scheitern.

Das liegt fast immer daran, dass a negativ ist, dass Ihre Zeichnung einen falschen Maßstab hat oder dass Sie einen Koeffizienten vertauscht haben. Eine Parabelfunktion schneidet die horizontale Achse nur, wenn sie sich nach oben öffnet, das heißt a muss positiv sein, und sie berührt die Achse nur, wenn a positiv und D gleich null ist. Ist a negativ, öffnet sich die Parabelfunktion nach unten und bleibt bei D kleiner als null vollständig unterhalb der Achse, was mathematisch konsistent ist, selbst wenn Ihre Skizze zu schneiden scheint, weil die Achsen nicht maßstäblich gezeichnet sind. Prüfen Sie zuerst, ob Sie nicht b und c vertauscht haben, denn dieser Fehler erzeugt einen plausibel aussehenden Graphen mit den falschen Nullstellen. Bestätigen Sie außerdem, dass vor einem negativen Koeffizienten kein Minuszeichen fehlt – ein sehr häufiger Versprecher beim Abtippen aus einem Lehrbuch.

Ist a gleich null, ist die Gleichung ax² + bx + c = 0 nicht mehr quadratisch, weil der quadratische Term verschwindet. Sie reduziert sich auf die lineare Gleichung bx + c = 0 mit der einzigen Lösung x = −c/b, sofern auch b nicht null ist. Genau dies ist der Fall, in dem das blinde Anwenden der quadratischen Formel scheitert, weil sie durch 2a teilt und damit durch null, was ein undefiniertes oder unendliches Ergebnis statt der richtigen Antwort liefert. Sind a und b beide null, wird aus der Gleichung die Identität c = 0: Ist auch c null, ist jede reelle Zahl eine Lösung, ist c ungleich null, gibt es überhaupt keine Lösung. Die meisten Rechner einschließlich diesem erkennen diese entarteten Fälle automatisch und melden, welche der drei Situationen zutrifft, statt eine Division durch null zurückzugeben.

Sie können sie für jede Gleichung anwenden, die tatsächlich quadratisch ist, das heißt wenn der Koeffizient a nicht null ist. Was Sie nicht tun können, ist sie direkt auf eine Gleichung anzuwenden, die noch nicht in der Normalform ax² + bx + c = 0 vorliegt. Eine Gleichung wie x² + 6 = 5x muss zuerst so umgestellt werden, dass alle Terme auf einer Seite stehen, was x² − 5x + 6 = 0 ergibt. Eine Gleichung mit Brüchen sollte zuerst von den Nennern befreit werden, aus x²/3 − x = 2 wird etwa x² − 3x = 6. Eine Gleichung mit einer Quadratwurzel, einem Bruch, der x enthält, oder einem Exponenten ungleich zwei ist überhaupt nicht quadratisch, und die Formel gilt nicht, dort braucht es Substitution oder eine andere Methode. Die Formel funktioniert numerisch auch für alle reellen Koeffizienten, Sie können also Dezimalzahlen oder große Zahlen direkt eingeben.

Alle drei Verfahren liefern dieselben Nullstellen, unterschiedlich ist, wie viel Erkenntnis sie geben. Die quadratische Formel ist ein mechanisches Verfahren, das für jede quadratische Gleichung funktioniert, auch für solche, die sich nicht mit ganzen Zahlen faktorisieren lassen; damit ist sie der sicherste allgemeine Weg und der, auf den man in einer Prüfung zurückfallen sollte. Das Lückenquadrat schreibt die Gleichung als (x − h)² = k um, was den Scheitelpunkt direkt sichtbar macht und erklärt, warum die Diskriminante darüber entscheidet, ob reale Nullstellen existieren, erfordert aber mehr Algebra und bringt leicht Brüche mit sich. Beim Faktorisieren wird die Gleichung als (x − x₁)(x − x₂) = 0 geschrieben, was bei ganzen Zahlen am schnellsten zur Lösung führt und die Struktur hinter der ganzen Methode vermittelt, bei irrationalen oder komplexen Nullstellen aber vollständig scheitert. Das Lückenquadrat ist die konzeptionelle Brücke zwischen den beiden anderen Verfahren, weshalb es sich lohnt, es mindestens einmal von Hand durchzurechnen.

Sie erhalten komplexe Nullstellen genau dann, wenn die Diskriminante negativ ist, also wenn b² − 4ac kleiner als null ist. Das ist weder ein Fehler im Werkzeug noch ein falsch eingegebenes Vorzeichen, sondern die mathematisch korrekte Antwort für eine Gleichung, deren Parabelfunktion die horizontale Achse nie schneidet. Die Nullstellen haben die Form a + bi und a − bi, wobei b ungleich null und i die imaginäre Einheit ist. Im Schulkontext bedeutet das in der Regel, dass die Gleichung keine reelle Lösung besitzt, und genau das ist das Ergebnis, das Sie angeben sollten. Komplexe Nullstellen treten legitim in Feldern wie der Elektrotechnik auf, wo sie schwingendes Verhalten und Schaltimpedanzen beschreiben, sowie in der Quantenmechanik, in der es keine reellwertigen Lösungen gibt. Falls Sie reelle Zahlen erwartet haben, prüfen Sie b² und 4ac getrennt, denn ein kleiner Rechenfehler kippt häufig das Vorzeichen der Diskriminante.